Question

已知数列{a_n}是公差不为0的等差数列，前n项和为S_n，S₅=20，a₁，a₃，a₇成等比数列，数列{

1

anan+1

}的前n项和为T_n
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若T_n≤λa_n+1对一切n∈N^*恒成立，求实数λ的最小值；
（3）设c_n=(1-

Tn

Tn+1

)•

1

Tn+1

，求证：c₁+c₂+c₃+…+c_n＜2．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用等差数列的通项公式和等比数列的性质，列出方程组求出首项和公差，由此求出a_n；
（2）由利用裂项相消法求出数列{

1

anan+1

}的前n项和为T_n，不等式条件T_n≤λa_n+1转化后，利用基本不等式求实数λ的最小值；
（3）有条件和T_n化简c_n，根据式子的特点和结论进行放缩，再裂项相消法求出c₁+c₂+c₃+…+c_n，再证明结论．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
则

5a1+ 5×4 2 ×d=20 (a1+2d)2=a1•(a1+6d)

，解得

d=1 a1=2

，
∴a_n=2+n-1=n+1．
（2）由（1）得，

1

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
则T_n=（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n+1

-

1

n+2

）
=

1

2

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

，
∴T_n≤λa_n+1对一切n∈N^*恒成立，
即

n

2(n+2)

≤λ（n+2）对一切n∈N^*恒成立，
化简得，λ≥

n

2(n+2)2

=

1

2(n+ 4 n +4)

∵n+

4

n

≥2

n× 4 n

=4，当且仅当n=

4

n

时取等号，此时n=2，
∴

1

2(n+ 4 n +4)

≤

1

16

，
则实数λ的最小值为

1

16

；
（3）由（2）得，T_n=

n

2(n+2)

，则T_n+1=

n+1

2(n+3)

，
∴c_n=(1-

Tn

Tn+1

)•

1

Tn+1

=(1-

n 2(n+2)

n+1 2(n+3)

)•

2(n+3) n+1

=

2

(n+1)(n+2)

•

2(n+3) n+1

，
∵

2(n+3)

n+1

=2×(1+

2

n+1

)≤4，
∴c_n=

2

(n+1)(n+2)

•

2(n+3) n+1

≤

4

(n+1)(n+2)

=4×(

1

n+1

-

1

n+2

)，
∴c₁+c₂+c₃+…+c_n≤4[（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（(

1

n+1

-

1

n+2

)）]
=4（

1

2

-

1

n+2

）=2-

4

n+2

＜2，
即c₁+c₂+c₃+…+c_n＜2成立．

点评：本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，等比数列的性质，利用裂项相消法求数列的前n项和，考查了分利用基本不等式求最值问题，以及放缩法证明不等式成立问题，等价转化思想与综合运算、推理证明能力，属于难题．