数列{an}定义如下:a1=1.对于每个n∈N*.a4n-3.a4n-2.a4n-1构成公差为1的等差数列.而a4n-1.a4n.a4n+1构成公比为2的等比数列．(1)求a2.a6的值以及a4n-2(n∈N*)的通项公式,(2)若bn=(a1+a2+a3)+(a5+a6+a7)+-+(a4n-3+a4n-2+a4n-1).在数列{bn}中是否存在不同的三项.使得� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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数列{a_n}定义如下：a₁=1，对于每个n∈N^*，a_4n-3，a_4n-2，a_4n-1构成公差为1的等差数列，而a_4n-1，a_4n，a_4n+1构成公比为2的等比数列．
（1）求a₂，a₆的值以及a_4n-2（n∈N^*）的通项公式；
（2）若b_n=（a₁+a₂+a₃）+（a₅+a₆+a₇）+…+（a_4n-3+a_4n-2+a_4n-1），在数列{b_n}中是否存在不同的三项，使得此三项能成为某三角形的三条边长？若能，求出这三项；若不能，请说明理由．

考点：数列与不等式的综合

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）利用_4n-3，a_4n-2，a_4n-1构成公差为1的等差数列，而a_4n-1，a_4n，a_4n+1构成公比为2的等比数列，求a₂，a₆的值以及a_4n-2（n∈N^*）的通项公式；
（2）由（1）知b_n=

(4n-1)-5n，确定数列{b_n}单调递减，再利用反证法，即可得出结论．

解答： 解：（1）a₂=2，a₃=3，a₄=6，a₅=12，a₆=13．
由题意，a_4n-1=a_4n-2+1，a_4n+1=4a_4n-1，a_4n+2=a_4n+1+1，
∴a_4n+2=4a_4n-2+5，
∴a_4n+2+

=4（a_4n-2+

）
∴{a_4n-2+

}是以

为首项，4为公比的等比数列，
∴a_4n-2+

•4n-1，
∴a_4n-2=

•4n-1-

；
（2）由（1）知，a_4n-3+a_4n-2+a_4n-1=3a_4n-2=11•4^n-1-5，
∴b_n=

(4n-1)-5n，
∴b_n+1-b_n=

(4n+1-1)-5（n+1）-

(4n-1)+5n=11×4ⁿ-5＞0，
∴数列{b_n}单调递减
假设存在不同的三项b_s，b_t，b_k（s＜t＜k），使得此三项能成为某三角形的三条边长，则k≥3，t≤k-1，s≤k-2，
且b_k≤b_s+b_t≤b_k-2+b_k-1，可得33•4^k-2+15k≤34
∵k≥3，∴33•4^k-2+15k≥177，
∴数列{b_n}中不存在不同的三项，使得此三项能成为某三角形的三条边长．

点评：本题考查数列中的新定义，考查数列的单调性，考查学生分析解决问题的能力，有难度．

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