Question

设数列{a_n}满足a_n+1=2na_n-a_n²+2，a₁=1，n∈N^*，求a₂，a₃，a₄及a_n．

Answer 1

考点：数学归纳法,数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：根据数列的递推公式直接进行求解，然后利用数学归纳法进行证明即可得到结论．

解答： 解：∵a_n+1=2na_n-a_n²+2，
∴a₂=2a₁-a₁²+2、2-1+2=3，
a₃=4a₂-a₂²+2=12-9+2=5，
a₄=6a₃-a₃²+2=30-25+2=7，
故猜想a_n=2n-1，
证明：当n=1，a₁=2-1=1，命题成立，
若n=k，命题成立，即a_k=2k-1，
则当n=k+1时，a_k+1=2ka_k-a_k²+2=2k（2k-1）-（2k-1）²+2=4k²-2k-4k²+4k-1+2=2k+1=2（k+1）-1，
故当n=k+1时，命题也成立，
综上对于n∈N^•，a_n=2n-1成立．

点评：本题主要考查数列的递推公式的应用，根据数学归纳法是解决本题的关键．