Question

在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是棱AB的中点，过A₁，M，C三点的平面交棱C₁D₁于N点，
（Ⅰ）求证：四边形A₁MCN为平行四边形；
（Ⅱ）求直线CD₁与平面A₁MCN所成角的正弦值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,棱柱的结构特征

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出CM∥A₁N，A₁M∥CN，由此能证明四边形A₁MCN为平行四边形．
（Ⅱ）延长CN、DD₁交于点P，过D作DQ⊥AN，垂足为Q，连结PQ，过D₁作D₁H⊥PQ，垂足为H，连结CH，由D₁H⊥平面A₁MCN，知∠D₁CH即为直线CD₁与平面A₁MCN所成角，由此能求出直线CD₁与平面A₁MCN所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，
∴平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，
∵平面A₁MCN∩平面ABCD=CM，
平面A₁MCN∩平面A₁B₁C₁D₁=A₁N，
∴CM∥A₁N，同理，A₁M∥CN，
∴四边形A₁MCN为平行四边形．
（Ⅱ）解：延长CN、DD₁交于点P，过D作DQ⊥AN，垂足为Q，
连结PQ，过D₁作D₁H⊥PQ，垂足为H，连结CH，
∵D₁H⊥平面A₁MCN，
∴∠D₁CH即为直线CD₁与平面A₁MCN所成角，
在Rt△D₁CH中，CD₁=

2

a，D₁H=

6

6

a，
∴sin∠D1CH=

D1H

CD1

=

3

6

，
∴直线CD₁与平面A₁MCN所成角的正弦值为

3

6

．

点评：本题考查平行四边形的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．