Question

设a≥0，f（x）=x-1-ln²x+2alnx（x＞0）．
（Ⅰ）令F（x）=xf′（x），讨论F（x）在（0，+∞）内的单调性并求极值；
（Ⅱ）当x＞1时，试判断

x-1

lnx

与lnx-2a的大小．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）根据求导法则有f′（x）=1-

2lnx

x

+

2a

x

，（x＞0），得F（x）=xf′（x）=x-2lnx+2a，x＞0，于是F′x）=

x-2

x

，x＞0，从而在x=2处取得极小值F（2）=2-ln2+2a，函数无极大值．
（Ⅱ）由a≥0知，F（x）的极小值F（2）=2-2ln2+2a＞0．从而当x＞0时，恒有f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）内单调增加．所以当x＞1时，f（x）＞f（1）=0，即x-1-ln²x+2alnx＞0．故当x＞1时，恒有x-1＞ln²x-2alnx．又lnx＞0．所以

x-1

lnx

＞lnx-2a．

解答： （Ⅰ）解：根据求导法则有f′（x）=1-

2lnx

x

+

2a

x

，（x＞0），
故F（x）=xf′（x）=x-2lnx+2a，x＞0，
于是F′x）=

x-2

x

，x＞0，
列表如下：

x	（0，2）	2	（2，+∞）
F′（x）	-	0	+
F（x）	↓	极小值F（2）	↑

故知F（x）在（0，2）内是减函数，在（2，+∞）内是增函数，
所以，在x=2处取得极小值F（2）=2-ln2+2a，函数无极大值．
（Ⅱ）由a≥0知，F（x）的极小值F（2）=2-2ln2+2a＞0．
于是由上表知，对一切x∈（0，+∞），恒有F（x）=xf′（x）＞0．
从而当x＞0时，恒有f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）内单调增加．
所以当x＞1时，f（x）＞f（1）=0，即x-1-ln²x+2alnx＞0．
故当x＞1时，恒有x-1＞ln²x-2alnx．又lnx＞0．
所以

x-1

lnx

＞lnx-2a．

点评：本题考察了函数的单调性，函数的极值问题，导数的应用，是一道综合题．