Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC+cosC=1-sin

C

2

（1）求sinC的值；
（2）若a²+b²=4（a+b）-8，求三角形三边a，b，c的值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）已知等式变形，利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，根据sin

C

2

不为0，整理后即可求出sinC的值；
（2）由sin

C

2

-cos

C

2

的值大于0，求出

C

2

的范围，进而求出C的范围，由sinC的值求出cosC的值，已知等式变形后利用非负数的性质求出a与b的值，再由余弦定理即可求出c的值．

解答： 解：（1）由已知得：sinC+sin

C

2

=1-cosC，
∴sin

C

2

（2cos

C

2

+1）=2sin²

C

2

，
∵sin

C

2

≠0，
∴2cos

C

2

+1=2sin

C

2

，即sin

C

2

-cos

C

2

=

1

2

，
两边平方得：1-sinC=

1

4

，
则sinC=

3

4

；
（2）∵sin

C

2

-cos

C

2

=

1

2

＞0，
∴

π

4

＜

C

2

＜

π

2

，即

π

2

＜C＜π，
∵sinC=

3

4

，∴cosC=-

7

4

，
由a²+b²=4（a+b）-8，得（a-2）²+（b-2）²=0，
解得：a=b=2，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=4+4-8×（-

7

4

）=8+2

7

=（

7

+1）²，
∴c=

7

+1，
综上，a=2，b=2，c=

7

+1．

点评：此题考查了余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及非负数的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．