Question

如图，圆锥SO中，AB、CD为底面圆的两条直径，AB交CD于O，且AB⊥CD，SO=OB=2，P为SB的中点．
（1）求证：SA∥平面PCD；
（2）求圆锥SO的表面积；求圆锥SO的体积．
（3）求异面直线SA与PD所成角的正切值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,旋转体（圆柱、圆锥、圆台）,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连结PO，由三角形中位线定理得PO∥SA，由此能证明SA∥平面PCD．
（2）由r=2，母线l=SB=2

2

，由圆锥SO的表面积S_表=S_侧+S_底，圆锥SO的体积V=

1

3

S底×SO，由此能求出结果．
（3）由PO∥SA，得∠DPO为异面直线SA与PD所成角，由此能求出异面直线SA与PD所成角的正切值．

解答： （1）证明：连结PO，…（1分）
∵P、O分别为SB、AB的中点，∴PO∥SA，…（2分）
PO?平面PCD，SA不包含于平面PCD，
∴SA∥平面PCD．…（4分）（表述缺漏扣1分）
（2）解：r=2，母线l=SB=2

2

，…（5分），
S_侧=πrl=4

2

π，…（6分）
∴圆锥SO的表面积S_表=S_侧+S_底=4

2

π+π•2²=4（

2

+1）π，
圆锥SO的体积V=

1

3

S底×SO=

1

3

×4π×

(2 2 )2-22

=

8π

3

．…（8分）
（3）解：∵PO∥SA，∴∠DPO为异面直线SA与PD所成角．…（9分）
∵CD⊥AB，CD⊥SO，AB∩SO=O，∴CD⊥平面SOB，…（10分）
∴OD⊥PO．在Rt△DOP中，OD=2，OP=

1

2

SB=

2

，…（11分）
∴tan∠DPO=

OD

OP

=

2

2

=

2

，
∴异面直线SA与PD所成角的正切值为

2

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查圆锥的表面积和体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．