Question

在等差数列{a_n}和等比数列{b_n}中，a₁=1，b₁=2，b_n＞0（n∈N^*），且b₁，a₂，b₂成等差数列，a₂，b₂，a₃+2成等比数列，数列{b_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若S_n+a_n＞m对任意的正整数n恒成立，求常数m的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由题意，得

2(1+d)=2+2q (2q)2=(1+d)(3+2d)

，解方程可求q，d，代入等差与等比数列的通项可求； 
（Ⅱ）S_n+a_n＞m对任意的正整数n恒成立，可得3ⁿ+3n-3＞m对任意的正整数n恒成立，求出f（n）=3ⁿ+3n-3的最小值，即可求常数m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q（q＞0）．
由题意，得

2(1+d)=2+2q (2q)2=(1+d)(3+2d)

，解得d=q=3．                  
∴a_n=3n-2，b_n=2•3^n-1；
（Ⅱ）∵S_n+a_n＞m对任意的正整数n恒成立，
∴3ⁿ+3n-3＞m对任意的正整数n恒成立，
令f（n）=3ⁿ+3n-3，则f（n+1）-f（n）=2•3ⁿ-3＞0，
∴f（n）单调递增，
∴m＜f（1）=3．

点评：本题主要考查了利用基本量表示等差数列、等比数列的通项，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．．