Question

设偶函数f（x）=log_a|x+b|在（0，+∞）上是单调减函数，则f（b-2）与f（a+1）的大小关系是（　　）

• A、f（b-2）=f（a+1）
• B、f（b-2）＞f（a+1）
• C、f（b-2）＜f（a+1）
• D、不能确定

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由已知中函数f（x）=log_a|x+b|（a＞0且a≠1）是偶函数，我们可以确定出b的值，再由函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，结合对数函数的单调性及复数函数的单调性，我们可以求出a的取值范围，及函数在区间（-∞，0）上的单调性，进而判断出f（a+1）与f（b-2）的大小．

解答： 解：∵函数f（x）=log_a|x+b|（a＞0且a≠1）是偶函数，
故f（-x）=log_a|-x+b|=f（x）=log_a|x+b|，
即|-x+b|=|x+b|，
解得b=0，
又∵函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
故0＜a＜1，
且函数f（x）在（-∞，0）上单调递增，
∵1＜a+1＜2=-（b-2），
故f（a+1）＞f[-（b-2）]=f（b-2），
故f（b-2）＜f（a+1），
故选：C

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数单调性的应用，其中根据已知条件确定出参数a，b的值（或范围），并判断出函数在区间（-∞，0）上的单调性，是解答本题的关键．