Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，若

S 2n

S n

恒为非零常数k，则称数列{a_n}为“和谐数列”．
（1）公差不为零的等差数列{b_n}的首项为1，且为“和谐数列”，求k的值及数列{b_n}的通项公式；
（2）正项数列{x_n}的前n项和为T_n，且2T_n=x_n（x_n+1），（n∈N^*），判断数列{x_n}是否为“和谐数列”，并说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的应用

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出4dn+4-2d=kdn+2k-kd，解得

k=4 d=2

，由此能求出数列{b_n}的通项公式．
（2）由2T_n=x_n（x_n+1），得2T_n=x_n²+x_n，由此能求出{x_n}是以1为首项，以1为公差的等差数列，从而得到x_n=n，数列{x_n}不是“和谐数列”．

解答： 解：（1）设{b₁}的公差为d，则Sn=n+

n(n-1)

2

d，S_2n=

2n(2n-1)

2

d，
由

S2n

Sn

=k，得

2n+ 2n(2n-1) 2 d

n+ n(n-1) 2 d

=k，
即

4+2(2n-1)d

2+(n-1)d

=k，
∴4dn+4-2d=kdn+2k-kd，
∴

4d=kd 4-2d=2k-kd

，
又d≠0，∴

k=4 d=2

，
∴b_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）由2T_n=x_n（x_n+1），得2T_n=x_n²+x_n，①
当n=1时，2x1=x12+x1 ，又x_n＞0，∴x₁=1，
当n≥2时，2T_n-1=x_n-1²+x_n-1，②
①-②，得：2xn=xn2+xn-xn-12-xn-1，
即（x_n+x_n-1）（x_n-x_n-1-1）=0，又x_n＞0，
∴x_n-x_n-1=1，
∴{x_n}是以1为首项，以1为公差的等差数列，
∴x_n=n，
∵

T3

T1

=3≠

10

3

=

T4

T2

，
∴数列{x_n}不是“和谐数列”．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查“和谐数列”的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．