Question

已知一四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，E是側棱PC上的动点．
（Ⅰ）求四棱锥P-ABCD的体积．
（Ⅱ）若点E为PC的中点，AC∩BD=O，求证：EO∥平面PAD；
（Ⅲ）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）四棱锥的底面是一个边长是1的正方形，一条侧棱与底面垂直，由这条侧棱长是2知四棱锥的高是2，求四棱锥的体积只要知道底面大小和高，就可以得到结果．
（Ⅱ）利用三角形中位线的性质证明OE∥PA，由线面平行的判定定理可证EO∥平面PAD；
（Ⅲ）不论点E在何位置，都有BD⊥AE，证明BD⊥平面PAC即可．

解答： （Ⅰ）解：由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，
侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2．…（1分）
∴V_P-ABCD=

1

3

S_?ABCD•PC=

2

3

．…（3分）
（Ⅱ）证明：∵E、O分别为PC、BD中点
∴EO∥PA，…（4分）
又EO?平面PAD，PA?平面PAD．…（6分）
∴EO∥平面PAD．…（7分）
（Ⅲ）不论点E在何位置，都有BD⊥AE，…（8分）
证明如下：∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，…（9分）
∵PC⊥底面ABCD且BD?平面ABCD，
∴BD⊥PC，…（10分）
又∵AC∩PC=C，
∴BD⊥平面PAC，…（11分）
∵不论点E在何位置，都有AE?平面PAC，
∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE．…（12分）

点评：本题考查由三视图求几何体的体积，考查线面平行、线面垂直的判定，本题解题的关键是看清四棱锥中存在一条和底面垂直的侧棱，这是求体积的关键．