Question

如图，多面体ABCDS中，四边形ABCD为矩形，SD⊥AD，SD⊥AB，且AB=2AD=2，M，N分别为AB，CD中点．
（1）求异面直线SM，AN所成的角；
（2）若二面角A-SC-D大小为60°，求SD的长．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：（1）几何法：由三垂线定理得，SM⊥AN，∴直线SM，AN所成的角90°；
向量法：以D为原点，分别以DS，DA，DC为x，y，z轴建系，

AN

•

SM

=0，故SM与AN成90°角；
（2）几何法：过D作DE⊥SC于E，连AE则∠AED为所求二面角A-SC-D的平面角60°，后解三角形；向量法：设平面ASC的一个法向量为

n1

，平面SDC的一个法向量为

n2

，二面角A-SC-D大小为60°，求得坐标中的参数即可．

解答： 法一（几何法）：（1）解：∵SD⊥AD，SD⊥AB，
∴SD⊥面ABCD，连接MN，则由已知，AMND为正方形，
连DM，则DM⊥AN，
又DM是SM在面ABCD上的射影，由三垂线定理得，SM⊥AN，
∴直线SM，AN所成的角90°；
（2）∵AD⊥CD，AD⊥SD，
∴AD⊥面SCD，过D作DE⊥SC于E，连AE则∠AED为所求二面角A-SC-D的平面角60°则在R△ADE中易得DE=

3

3

，
设SD=a，在Rt△SDC中，DE=

2a

a2+4

=

3

3

，∴SD=a

2 11

11

．
法二：（向量法）解：（1）以D为原点，分别以DS，DA，DC为x，y，z轴建系，
则A（0，1，0），N（0，0，1），M（0，1，1），C（0，0，2），
设S（a，0，0），则

AN

=（0，-1，1），

SM

=（-a，1，1），

AN

•

SM

=0，
故SM与AN成90°角；
（2）设平面ASC的一个法向量为

n1

=（x，y，z）

AS

=（a，-1，0），

AC

=（0，-1，2），
由

n1 • AC =0 n1 • AS =0

，⇒

n1

=（2，2a，a），
又平面SDC的一个法向量为

n2

=（0，1，0），
由题意：cos60°=|cos＜

n1

，

n2

＞|=

2a

4+4a2+a2

，
∴SD=a=

2 11

11

．

点评：本题考查异面直线所成的角，二面角的平面角，即可用几何法，也可向量法，两种方法都要熟练掌握．