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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知点A、B、C的坐标分别是（4，0）、（0，4）、（3cosα，3sinα），且α∈（
    π
    2
    ，
    3π
    4
    ）．若
    AC
    ⊥
    BC
    ，求
    2sin2α+sin2α
    1-tanα
    的值．
    考点：同角三角函数基本关系的运用
    专题：三角函数的求值
    分析：由A，B，C的坐标表示出
    AC
    与
    BC
    ，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，求出sinα+cosα的值，两边平方利用同角三角函数间基本关系求出sin2α的值，根据α的范围求出α+
    π
    4
    的范围，进而求出cos（α+
    π
    4
    ）的值，原式分子提取sinα，分母利用同角三角函数间基本关系化简，整理后将各自的值代入计算即可求出值．
    解答： 解：∵
    AC
    =（3cosα-4，3sinα），
    BC
    =（3cosα，3sinα-4），且
    AC
    ⊥
    BC
    ，
    ∴
    AC
    •
    BC
    =0，即（3cosα-4）•3cosα+3sinα（3sinα-4）=0，
    整理得：sinα+cosα=
    3
    4
    ，
    两边平方得：（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=
    9
    16
    ，即sin2α=-
    7
    16
    ，
    ∵sin（α+
    π
    4
    ）=
    		2
    2
    （sinα+cosα）=
    3
    		2
    8
    ，α∈（
    π
    2
    ，
    3π
    4
    ），即α+
    π
    4
    ∈（
    3π
    4
    ，π），
    ∴cos（α+
    π
    4
    ）=-
    		46
    8
    ，
    则原式=
    2sinα(sinα+cosα)
    cosα-sinα
    cosα
    =
    sin2α(sinα+cosα)
    		2
    cos(α+
    π
    4
    )
    =
    -
    7
    16
    ×
    3
    4
    		2
    ×(-
    		46
    8
    )
    =
    21
    		23
    368
    ．
    点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．
    （1）求证：直线AB1∥平面BC1D；
    （2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A；
    （3）求三棱锥C-BC1D的体积．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知直线l：kx-y+1=0，圆C：x2+y2-2x=0
    （1）若直线l平行于直线x-ky+2=0，求k的值．
    （2）若直线l和圆C相切，求k的值．

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    如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
    （Ⅰ）求证：PA∥平面EDB；
    （Ⅱ）求二面角F-DE-B的正弦值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数列{an}中，a7=4，an+1=
    3an+4
    7-an
    ．
    （1）试求a8和a6的值；
    （2）对于数列{an}，是否存在自然数m，使得当n≥m时，an＜2；当n＜m时，an＞2，证明你的结论．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，多面体ABCDS中，四边形ABCD为矩形，SD⊥AD，SD⊥AB，且AB=2AD=2，M，N分别为AB，CD中点．
    （1）求异面直线SM，AN所成的角；
    （2）若二面角A-SC-D大小为60°，求SD的长．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    证明恒等式：
    tanαtan2α
    tan2α-tanα
    +
    		3
    （sin2α-cos2α）=2sin（2α-
    π
    3
    ）．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AC=AB=1，BC=
    		2
    ，D，E分别是AB，BB1的中点，求异面直线AC1，DE所成的角．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知向量
    m
    =（cos（x-
    π
    6
    ），0），
    n
    =（2，0），x∈R，函数f（x）=
    m
    •
    n
    ．
    （1）求函数f（x）的表达式；
    （2）求f（π）的值；
    （3）若f（α+
    2π
    3
    ）=
    6
    5
    ，α∈（-
    π
    2
    ，0），求f（2α）的值．

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