Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA₁=AB=6，D为AC的中点．
（1）求证：直线AB₁∥平面BC₁D；
（2）求证：平面BC₁D⊥平面ACC₁A；
（3）求三棱锥C-BC₁D的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）连接B₁C交BC₁于点O，连接OD，则点O为B₁C的中点．可得DO为△AB₁C中位线，A₁B∥OD，结合线面平行的判定定理，得A₁B∥平面BC₁D；
（2）由AA₁⊥底面ABC，得AA₁⊥BD．正三角形ABC中，中线BD⊥AC，结合线面垂直的判定定理，得BD⊥平面ACC₁A₁，最后由面面垂直的判定定理，证出平面BC₁D⊥平面ACC₁A；
（3）利用等体积转换，即可求三棱锥C-BC₁D的体积．

解答： （1）证明：连接B₁C交BC₁于点O，连接OD，则点O为B₁C的中点．
∵D为AC中点，得DO为△AB₁C中位线，
∴A₁B∥OD．
∵OD?平面AB₁C，A₁B?平面AB₁C，
∴直线AB₁∥平面BC₁D；
（2）证明：∵AA₁⊥底面ABC，
∴AA₁⊥BD，
∵底面ABC正三角形，D是AC的中点
∴BD⊥AC
∵AA₁∩AC=A，∴BD⊥平面ACC₁A₁，
∵BD?平面BC₁D，∴平面BC₁D⊥平面ACC₁A；
（3）解：由（2）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3

3

，
∴S_△BCD=

1

2

×3×3

3

=

9 3

2

，
∴V_C-BC1D=V_C1-BCD=

1

3

•

9 3

2

•6=9

3

．

点评：本题给出直三棱柱，求证线面平行、面面垂直并探索三棱锥的体积，着重考查了空间线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了锥体体积公式的应用，属于中档题．