Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD．
（1）证明：BD⊥PC；
（2）若PA=AD=4，BC=2，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）由PA⊥平面ABCD，AC⊥BD可证得BD⊥平面PAC，从而证得BD⊥PC；
（2）根据BC=2，AD=4，且ABCD是等腰梯形，且AC⊥BD，求S_ABCD，即可求V_P-ABCD．

解答： （1）证明：∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD，
又AC⊥BD，PA，AC是平面PAC内的两条相交直线，
∴BD⊥平面PAC，而PC?平面PAC，∴BD⊥PC…（5分）
（2）解：∵BC=2，AD=4，且ABCD是等腰梯形，且AC⊥BD
故S_梯形ABCD=9…（8分）
又PA=4，故V_P-ABCD=12…（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直判定定理与性质性质定理，考查直线与平面所成的角的应用与锥体体积，突出对分析、推理与计算能力的考查与应用，属于中档题．