Question

已知数列{a_n}中，a₇=4，a_n+1=

3an+4

7-an

．
（1）试求a₈和a₆的值；
（2）对于数列{a_n}，是否存在自然数m，使得当n≥m时，a_n＜2；当n＜m时，a_n＞2，证明你的结论．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据数列的递推公式直接进行求解即可求a₈和a₆的值；
（2）利用数学归纳法进行证明即可得到结论．

解答： 解：（1）因为a₇=4，a_n+1=

3an+4

7-an

．
当n=6时，解得a₆=

24

7

，
当n=7时，解得a₈=

16

3

．
（2）类似计算得到，a₆=

24

7

，a₇=4，a₈=

16

3

，a₉=12，a₁₀=-8，a₁₁=-

4

3

．
由此猜想：
存在自然数m=10，使得当n≥10时，a_n＜2；当n＜10时，a_n＞2．
证明：①首先验证，当n=1，2，3，…，9时，a_n＞2．
由已知条件a_n+1=

3an+4

7-an

，解得 a_n=

7an+1-4

an+1+3

，
然后由a₇=4出发，计算这个数列的第6项到第1项：
a₆=

24

7

，a₅=

28

9

，a₄=

32

11

，a₃=

36

13

，a₂=

40

15

=

8

3

，a₁=

44

17

，
显然，当n＜10时，a_n＞2，
②再用数学归纳法证明：n≥10时，a_n＜2．
①当n=10时，a₁₀=-8＜2，猜想成立．
②假设当n=k （k≥10）时，猜想成立，即a_k＜2，
那么当n=k+1时，有a_k+1-2=

3ak+4

7-ak

-2=

5(ak-2)

7-ak

，
由a_k＜2，则a_k-2＜0，7-a_k＞0，
所以，a_k+1-2＜0，即a_k+1＜2成立． 
根据①、②，当n≥10时，a_n＜2．
因此，存在自然数m=10，使得当n≥10时，a_n＜2；当n＜10时，a_n＞2．

点评：本题主要考查数列的递推公式的应用，根据数学归纳法是解决本题的关键．