Question

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程是

x=1- 2 2 t y=2+ 2 2 t

（t为参数）．
（1）若圆C的极坐标方程为ρ²-2ρcosθ-15=0，求直线l被圆C所截得的弦长；
（2）若矩阵M=

2 1 1 a

的一个特征值是3，求直线l在M对应的变换作用下的直线方程．

Answer 1

考点：二阶矩阵与平面向量的乘法,参数方程化成普通方程

专题：矩阵和变换,坐标系和参数方程

分析：（1）首先求出直线l、圆的普通方程，然后求出圆心C到直线l的距离是多少，最后求出直线l被圆C所截得的弦长是多少即可；
（2）首先求出矩阵M，然后设出点（x，y）是直线l上的任一点，其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为（x′，y′），根据变换前后写出关系式，整理即可得到直线l′的方程．

解答： 解：（1）直线l的普通方程是x+y=3
由ρ²-2ρcosθ-15=0，可得x²+y²-2x-15=0
即圆C的直角坐标方程是（x-1）²+y²=16
∴圆心C到直线l的距离是d=

2

2

=

2

∴直线l被圆C所截得的弦长是2

42-2

=2

14

（2）若矩阵M=

2 1 1 a

的特征多项式是f（λ）=

.

λ-2 -1 -1 λ-a

.

，
由题意，f（3）=0，解得a=2，
所以矩阵矩阵M=

2 1 1 2

；
设直线上l任意一点P（x，y），在M对应的变换作用下的点P′（x′，y′）
则M=

2 1 1 2

x y

=

x′ y′

，即

x′=2x+y y′=x+2y

解得

x= 2 3 x′- 1 3 y′ y=- 1 3 x′+ 2 3 y′

代入直线l的方程是x+y=3
可得x′+y′=9
所以直线l在M对应的变换作用下的直线方程是x+y=9．

点评：本题主要考查矩阵的特征向量和特征值的应用，考查了参数方程化成普通方程的方法的运用，本题的运算量不大，属于基础题．