Question

已知矩阵M有特征值λ₁=8及对应特征向量a₁=[

1

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]，且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（-2，4）
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）若直线l在矩阵M所对应的线性变换作用下得到直线l′：x-2y=4，求直线l方程．

Answer 1

考点：特征值与特征向量的计算

专题：选作题,矩阵和变换

分析：（Ⅰ）利用待定系数法，由二阶矩阵M有特征值λ₁=8及对应特征向量a₁=[

1

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]，且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（-2，4）），得到关于a，b，c，d的方程组，即可求得矩阵M；
（Ⅱ）确定变换前后坐标之间的关系，利用直线l′：x-2y=4，可求在矩阵M所对应的线性变换作用下得到的方程．

解答： 解：（Ⅰ）设M=

a b c d

，则

a b c d

1 1

=8

1 1

，故

a+b=8 c+d=8

又矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（-2，4）
∴

a b c d

-1 2

=

-2 4

，故

-a+2b=-2 -c+2d=4

联立以上两方程组，解得：a=6，b=2，c=4，d=4，
故M=

6 2 4 4

．…（4分）
（Ⅱ）设P（x，y）是直线l上任意一点，它在矩阵M对应的变换下变为点P′（x′，y′），
则

6 2 4 4

x y

=

x′ y′

，即

6x+2y=x′ 4x+4y=y′

∵点P′（x′，y′）在直线l′：x-2y=4上，∴有：x′-2y′=4，
把x′，y′代人得：x+3y+2=0．
故所求直线l的方程为：x+3y+2=0．…（7分）

点评：本题主要考查矩阵变换的应用，考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，属于基础题．