Question

已知矩阵A=

1 a -1 b

，A的一个特征值λ=2，其对应的特征向量是

a1

=

2 1

（Ⅰ）求矩阵A；
（Ⅱ）若向量

β

=

7 4

，计算A⁴

β

的值．

Answer 1

考点：几种特殊的矩阵变换,特征向量的定义,特征值、特征向量的应用

专题：矩阵和变换

分析：（1）解法一：利用特征值与特征向量的定义，建立方程组，求出a、b的值，即可求得矩阵A；解法二：首先写出矩阵的特征多项式，然后利用特征值与特征向量的定义，建立方程组，求出a、b的值，即可求得矩阵A；
（2）利用特征向量的性质计算，先利用特征向量表示向量

α2

，然后把A⁴

β

的值的问题转化成求有关特征向量的计算问题．

解答： 解：（I）解法一：由已知可得

1，a -1，b

2 1

=2

2 1

∴

2+a=4 -2+b=2

解之得

a=2 b=4

∴A=

1，2 -1，4

解法二：矩阵的特征多项式为f（λ）=

.

λ-1 -a 1 λ-b

.

，
∵A的一个特征值为λ=2，其对应的特征向量为

α1

=

2 1

∴λ，

α1

满足方程组

(λ-1)x-ay=0 x+(λ-b)y=0

∴

2-a=0 2+(2-b)=0

∴

a=2 b=4

∴A=

1，2 -1，4

（II）由f（λ）=（λ-1）（λ-4）+2=0，可得λ₁=2，λ₂=3
当λ₂=3代入

(λ-1)x-2y=0 x+(λ-4)y=0

得

2x-2y=0 x-y=0

∴

α2

=

1 1

令β=m

α1

+n

α2

∴

7 4

=m

2 1

+n

1 1

∴

2m+n=7 m+n=4

，∴

m=3 n=1

∴

7 4

=3

2 1

+

1 1

∴A4β=m

λ

4 1

α1

+n

λ

4 2

α2

=3×24

2 1

+1×34

1 1

=

96 48

+

81 81

=

177 129

点评：本题主要考查了矩阵的性质和应用，考查了特征值、特征向量的运用，解答此题的关键是要注意公式的灵活运用．