Question

已知向量

m

=（cos（x-

π

6

），0），

n

=（2，0），x∈R，函数f（x）=

m

•

n

．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求f（π）的值；
（3）若f（α+

2π

3

）=

6

5

，α∈（-

π

2

，0），求f（2α）的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值

分析：（1）由条件利用两个向量的数量积公式求得函数f（x）=

m

•

n

的解析式．
（2）由f（x）的解析式求得f（π）的值．
（3）由f（α+

2π

3

）=

6

5

，求得sinα=-

3

5

，再根据α∈（-

π

2

，0），求得cosα、sin2α、cos2α 的值，再根据 f（2α）=2cos（2α-

π

6

），利用两角差的余弦公式计算求得解果．

解答： 解：（1）∵向量

m

=（cos（x-

π

6

），0），

n

=（2，0），∴函数f（x）=

m

•

n

=2cos（x-

π

6

）．
（2）f（π）=2cos（π-

π

6

）=-2cos

π

6

=-

3

．
（3）∵f（α+

2π

3

）=2cos（α+

2π

3

-

π

6

）=-2sinα=

6

5

，∴sinα=-

3

5

，
再根据α∈（-

π

2

，0），∴cosα=

4

5

，∴sin2α=2sinαcosα=-

24

25

，cos2α=2cos²α-1=

7

25

．
∴f（2α）=2cos（2α-

π

6

）=2cos2αcos

π

6

+2sin2αsin

π

6

=2×

7

25

×

3

2

+2×（-

24

25

）×

1

2

=

7 3 -24

25

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，两角和差的三角公式、二倍角公式的应用，属于基础题．