Question

如图，设四棱锥S-ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=SC=2，SA=SB=

2

．
（Ⅰ）求证：平面SAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求平面ADS与平面ABS所夹角的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连接AC，取AB的中点E，连接SE、EC，证明SE⊥AB，SE⊥EC，即可证明SE⊥面ABCD，从而可得平面SAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）以E为坐标原点建立空间直角坐标系，通过求解平面ADS与平面ABS法向量所成角的余弦值得到平面ADS与平面ABS所夹角的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：连接AC，取AB的中点E，连接SE、EC，
∵SA=SB=

2

，
∴SE⊥AB，AB=2，∴SE=1，
又四棱锥S-ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，AB=2，
∴CE=

3

，
又SC=2，∴SC²=CE²+SE²，
∴SE⊥EC，
∵AB∩EC=E，
∴SE⊥面ABCD，
∵SE?平面SAB，
∴平面SAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，分别以EC，EB，ES为x轴、y轴、z轴的正半轴建立建立空间直角坐标系．
则面ABS的一个法向量

m

=（1，0，0），A（0，-1，0），S（0，0，1），D(

3

，-2，0)，
∴

AD

=(

3

，-1，0)，

AS

=(0，1，1)，
设面ADS的法向量

n

=（x，y，z），
则

AD

•

n

=

3

x-y=0，

AS

•

n

=y+z=0，
令y=

3

，则x=1，z=-

3

，∴

n

=(1，

3

，-

3

)，
设平面ADS与平面ABS所夹角的大小为θ，则cosθ=

1

1• 7

=

7

7

．

点评：本题考查了平面与平面垂直的判定，考查了利用空间向量求解二面角的大小，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．