Question

已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，AA₁=2，底面ABCD是直角梯形，A是直角，AB∥CD，AB=4，AD=2，DC=1．

（1）求C₁到AB的距离；
（2）求异面直线BC₁与DC所成角的余弦值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知条件推导出CC₁⊥面ABCD，CC₁⊥CM，AD⊥AB，CM⊥AB，由三垂线定理得C₁M就是C₁到直线AB的距离，由此能求出结果．
（2）由AB∥CD，得∠C₁BM就是BC₁与CD所成的角，由此能求出异面直线BC₁与DC所成角的余弦值．

解答： 解：（1）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是直四棱柱，∴CC₁⊥面ABCD，
过C作CM∥DA交AB于M，则CC₁⊥CM，
由题意知AD⊥AB，∴CM⊥AB，由三垂线定理得：C₁M⊥AB，
∴C₁M就是C₁到直线AB的距离…（4分）
在Rt△CC₁M中，C1M=

22+22

=2

2

，
∴C₁到AB的距离为2

2

．…（5分）
（2）∵AB∥CD，∴∠C₁BM就是BC₁与CD所成的角…（7分）
在Rt△C₁MB中，MB=3，C1M=2

2

，C1B=

17

，
∴cos∠C₁BM=

( 17 )2+32-(2 2 )2

2× 17 ×3

=

3 17

17

．…（9分）
∴异面直线BC₁与DC所成角的余弦值为

3 17

17

．…（10分）

点评：本题考查点到直线的距离，考查异面直线所成角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．