Question

已知P是△ABC内部一点，

PA

+

2PB

+

3PC

=

0

，记△PBC、△PAC、△PAB的面积分别为S₁、S₂、S₃，则S₁：S₂：S₃=

 

．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：延长PB到B'，使PB'=2PB，延长PC到C'，使PC=3PC'，则

PA

+

PB′

+

PC′

=

0

，再利用比例关系确定S₁：S₂：S₃．

解答： 解：如图：延长PB到B'，使PB'=2PB，延长PC到C'，使PC=3PC'，则

PA

+

PB′

+

PC′

=

0

，
∴P是△AB'C'的重心，
∴S_△PAB'=S_△PAC'=S_△PB'C'=k
∴S₁=

1

2

PB•PCsin∠BPC
=

1

2

•

1

2

PB'•

1

3

PC'sin∠BPC
=

1

6

S_△PB'C'=

1

6

k
S₃=

1

2

S_△PAB'=

1

2

k，
S₂=

1

3

S△PAC'=

1

3

k
故S₁：S₂：S₃=1：2：3．
故答案为：1：2：3．

点评：本题考查了向量的三角形法则、共线定理、相似三角形的性质，属于难题．