Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是菱形，AC∩BD=O，△PAC是边长为2的等边三角形，PB=PD=

6

，AP=4AF．
（1）求证：平面PAC⊥平面ABCD；
（2）如果在线段PB上有一点M，且BM=

1

3

BP，求二面角M-DF-B的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知条件得PO⊥AC，PO⊥BD，从而得到PO⊥底面ABCD，由此能证明平面PAC⊥平面ABCD．
（2）由菱形性质得AC⊥BD，以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出二面角M-DF-B的余弦值．

解答： （1）证明：∵底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，
∴O为AC，BD中点，又∵PA=PC，PB=PD，
∴PO⊥AC，PO⊥BD，
∴PO⊥底面ABCD，
又PO?平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABCD．
（2）解：由底面ABCD是菱形，得AC⊥BD，
又由（1）知PO⊥AC，PO⊥BD．
如图以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz，
由△PAC是边长为2的等边三角形，
PO=

3

，PB=PD=

6

，BO=OD=

3

，
∴A（1，0，0），C（-1，0，0），B（0，

3

，0），
P（0，0，

3

），∴

OB

=(0，

3

，0)，

CP

=(1，0，

3

)，

AP

=(-1，0，

3

)，
由已知得

OF

=

OA

+

1

4

AP

=(

3

4

，0，

3

4

)，
设平面BDF的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • OB = 3 y =0 n • OF = 3 4 x+ 3 4 z=0

，
取x=1，得

n

=（1，0，-

3

），
M（0，

2 3

3

，

3

3

），

DM

=(0，

5 3

3

，

3

3

)，

DF

=(

3

4

，

3

，

3

4

)，
设平面MDF的法向量

m

=(a，b，c)，
则

m • DM = 5 3 3 a+ 3 3 c=0 m • DF = 3 4 a+ 3 b+ 3 4 c=0

，
取b=-1，得

m

=(-

3

3

，-1，5)，
设二面角M-DF-B的平面角为θ，
则cosθ=cos＜

n

，

m

＞=

- 3 3 +5 3

4 • 1 3 +26

=

8 79

79

，
∴二面角M-DF-B的余弦值为

8 79

79

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角和余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．