Question

如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC，AA₁⊥平面ABC，点D，D₁分别是AB，A₁B₁的中点．
（1）求证：平面AC₁D₁∥平面CDB₁；
（2）求证：平面CDB₁⊥平面ABB₁A₁；
（3）若AC⊥BC，AC=AA₁，求异面直线AC₁与A₁B所成的角．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知条件推导出四边形ADB₁D₁为平行四边形，从而得到AD₁∥平面CDB₁，同理，C₁D₁∥平面CDB₁，由此能证明平面AC₁D₁∥平面CDB．
（2）由线面垂直得AA₁⊥CD．∵由等腰三角形性质得CD⊥AB，从而得到CD⊥平面ABB₁A₁，由此能证明平面CDB₁⊥平面ABB₁A₁．
（3）连接BC₁交B₁C于E，连接DE，取AA₁中点F，连接EF，由已知条件推导出∠EDF是异面直线AC₁与A₁B所成的角．由此能求出异面直线AC₁与A₁B所成的角．

解答： （1）证明：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵点D，D₁分别是AB，A₁B₁的中点，D₁B₁∥AD，
∴四边形ADB₁D₁为平行四边形，
∴AD₁∥DB₁，∵AD₁?平面CDB₁，∴AD₁∥平面CDB₁，
同理，C₁D₁∥平面CDB₁，
∵AD1∩D₁C₁=D₁，
∴平面AC₁D₁∥平面CDB．（4分）
（2）证明：∵AA₁⊥平面ABC，CD?平面ABC，
∴AA₁⊥CD．∵AC=BC，D是AB的中点，
∴CD⊥AB，∵AA₁∩AB=A，∴CD⊥平面ABB₁A₁，
∵CD?平面ABC，
∴平面CDB₁⊥平面ABB₁A₁．（9分）
（3）解：连接BC₁交B₁C于E，连接DE，
取AA₁中点F，连接EF，又∵D是AB中点，
∴AC₁∥DE，DF∥A₁B，
∴∠EDF是异面直线AC₁与A₁B所成的角．
设AC=DE=

2

2

，DF=

AF2+AD2

=

3

2

，EF=

5

2

，
∴DE²+DF²=EF²，∴∠EDF=90°，
∴异面直线AC₁与A₁B所成的角为90°．（13分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查异面直线的成的角的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．