Question

已知f（x）=log₂[（2-x）（2+x）]
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）求使f（x）＞1的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质,对数函数的定义域,对数函数的值域与最值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据使f（x）=log₂[（2-x）（2+x）]的解析式有意义的原则，构造关于x的不等式，解不等式可得f（x）的定义域；
（2）由（1）知f（x）的定义域关于原点对称，进而f（-x）与f（x）的关系，进而根据函数奇偶性的定义判断出f（x）的奇偶性；
（3）若f（x）＞1，则（2+x）（2-x）＞1，解不等式可得满足条件的x的取值范围．

解答： 解：（1）要使f（x）=log₂[（2-x）（2+x）]的解析式有意义，
自变量x须满足：（2-x）（2+x）＞0，
解得x∈（-2，2），
故f（x）的定义域为（-2，2）；
（2）由（1）知f（x）的定义域关于原点对称，
又由f（-x）=log₂[（2+x）（2-x）]=f（x），
故f（x）为偶函数；
（3）令f（x）＞1，则（2+x）（2-x）＞1，
解得：x∈（-

3

，

3

），
故使f（x）＞1的x取值范围为（-

3

，

3

）．

点评：本题考查的知识点是函数的定义域，函数的奇偶性，函数的单调性，二次不等式的解法，是函数图象和性质及不等式的简单综合考查，难度不大，属于基础题．