Question

8．已知sinθ+cosθ=sinθcosθ，则角θ所在的区间可能是（　　）

• A． （$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）
• B． （$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$）
• C． （-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{4}$）
• D． （π，$\frac{5π}{4}$）

Answer 1

分析 设sinθ+cosθ=t，由题意可得t=1-$\sqrt{2}$，故有sinθ和cosθ异号，排除A、D，再逐一检验B、C选项是否正确，从而得出结论．

解答 解：∵sinθ+cosθ=sinθcosθ，设sinθ+cosθ=t，则1+2sinθcosθ=t²，
∴t=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，求得t=1+$\sqrt{2}$（不合题意，舍去），或 t=1-$\sqrt{2}$，
即sinθ+cosθ=1-$\sqrt{2}$=sinθcosθ，故sinθ和cosθ异号，故排除A、D．
在（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$）上，sinθ∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），cosθ∈（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），sinθ+cosθ＞0，不满足条件，故排除B．
（-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{4}$）上，sinθ∈（-1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），cosθ∈（ 0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），sinθ+cosθ＜0，满足条件，
故选：C．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角函数的定义域和值域，属于中档题．