Question

18．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}sin（\frac{π}{2}x）-1，x≤0\\{log_a}x（a＞0，a≠1），x＞0\end{array}$的图象上关于y轴对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，1）
• B． （0，$\frac{\sqrt{5}}{5}$）
• C． $（\frac{{\sqrt{3}}}{3}\;，\;\;1）$
• D． $（0\;，\;\;\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$

Answer 1

分析 求出y=sin（$\frac{πx}{2}$）-1（x≤0）关于y轴对称的函数，令其图象与f（x）在（0，+∞）上至少有3个交点，根据图象得出不等式，从而解出a的范围．

解答 解：y=sin（$\frac{πx}{2}$）-1（x≤0）关于y轴对称的函数为y=-sin（$\frac{πx}{2}$）-1（x≥0），
作出y=-sin（$\frac{πx}{2}$）-1与y=log_ax的图象如图所示：

∵f（x）的图象上关于y轴对称的点至少有3对，
∴y=-sin（$\frac{πx}{2}$）-1与y=log_ax的图象至少有3个交点，
∴-2＜log_a5＜0，解得0＜a＜$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故选B．

点评 本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．