Question

7．已知m是一个给定的正整数，m≥3，设数列{a_n}共有m项，记该数列前i项a₁，a₂，…，a_i中的最大项为A_i，该数列后m-i项a_i+1，a_i+2，…，a_m中的最小项为B_i，r_i=A_i-B_i（i=1，2，3，…，m-1）；
（1）若数列{a_n}的通项公式为${a_n}={2^n}$（n=1，2，…，m），求数列{r_i}的通项公式；
（2）若数列{a_n}满足a₁=1，r₁=-2（i=1，2，…，m-1），求数列{a_n}的通项公式；
（3）试构造项数为m的数列{a_n}，满足a_n=b_n+c_n，其中{b_n}是公差不为零的等差数列，{c_n}是等比数列，使数列{r_i}是单调递增的，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由于${a_n}={2^n}$单调递增，可得A_i=2ⁱ，B_i=2ⁱ⁺¹，即可得出r_i=A_i-B_i，1≤i≤m-1．
（2）根据题意可知，a_i≤A_i，B_i≤a_i+1，因为r_i=A_i-B_i=-2＜0，可得A_i＜B_i，可得a_i≤A_i＜B_i≤a_i+1，即a_i＜a_i+1，根据单调性即可得出A_i=a_i，B_i=a_i+1，可得r_i=a_i-a_i+1=-2．利用等差数列的通项公式即可得出．
（3）构造a_n=n-$（\frac{1}{2}）^{n}$，其中b_n=n，c_n=-$（\frac{1}{2}）^{n}$，根据单调性可得：A_i=a_i=i-$（\frac{1}{2}）^{i}$，B_i=a_i+1=i+1-$（\frac{1}{2}）^{i+1}$，r_i=a_i-a_i+1=-1-$（\frac{1}{2}）^{i+1}$，1≤i≤m-1，通过作差证明数列{a_n}满足题意即可得出．

解答 解：（1）∵${a_n}={2^n}$单调递增，∴A_i=2ⁱ，B_i=2ⁱ⁺¹，∴r_i=A_i-B_i=2ⁱ-2ⁱ⁺¹=-2ⁱ，1≤i≤m-1．
（2）根据题意可知，a_i≤A_i，B_i≤a_i+1，
因为r_i=A_i-B_i=-2＜0，所以A_i＜B_i，
可得a_i≤A_i＜B_i≤a_i+1，即a_i＜a_i+1，
又因为i=1，2，3，…，m-1，所以{a_n}单调递增，
则A_i=a_i，B_i=a_i+1，所以r_i=a_i-a_i+1=-2，即a_i+1-a_i=2，1≤i≤m-1，
所以{a_n}是公差为2的等差数列，a_n=1+2（n-1）=2n-1，1≤i≤m-1；
（3）构造a_n=n-$（\frac{1}{2}）^{n}$，其中b_n=n，c_n=-$（\frac{1}{2}）^{n}$，
下证数列{a_n}满足题意．
证明：因为a_n=n-$（\frac{1}{2}）^{n}$，所以数列{a_n}单调递增，
所以A_i=a_i=i-$（\frac{1}{2}）^{i}$，B_i=a_i+1=i+1-$（\frac{1}{2}）^{i+1}$，
所以r_i=a_i-a_i+1=-1-$（\frac{1}{2}）^{i+1}$，1≤i≤m-1，
因为r_i+1-r_i=[-1-$（\frac{1}{2}）^{i+2}$]-[-1-$（\frac{1}{2}）^{i+1}$]=$（\frac{1}{2}）^{i+2}$＞0，
所以数列{r_i}单调递增，满足题意．
（说明：等差数列{b_n}的首项b₁任意，公差d为正数，同时等比数列{c_n}的首项c₁为负，公比q∈（0，1），这样构造的数列{a_n}都满足题意．）

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其性质、数列的单调性、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．