Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a-c）cosB=bcosC．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）已知函数f（A，C）=cos²A+sin²C，求f（A，C）的最大值．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）利用正弦定理，结合A、B的范围求出求角B的大小；
（Ⅱ）把C用A来表示，在sin（2A+

π

3

）=1取最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
整理求得2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，
∴cosB=

1

2

∴B=

π

3

（Ⅱ） f（A，C）=cos²A+sin²C=cos2A+sin²（

2π

3

-A）=1+

3

2

sin（2A+

π

3

），
∵sin（2A+

π

3

）≤1，
∴在sin（2A+

π

3

）=1时，f（A，C）取最大值．最大值为1+

3

2

．

点评：本题主要考查了正弦定理的应用，三角函数的最值等问题．要求学生综合运用学科知识解决问题的能力．