Question

下列命题中正确的个数为（　　）
（1）命题“?x＞0，x²-x≤0”的否定是“?x≤0，x²-x＞0”
（2）函数y=sin（x-

π

2

）在[0，π]上为减函数
（3）已知数列{a_n}，则“a_n，a_n+1，a_n+2成等比数列”是“a_n+1²=a_na_n+2”的充要条件
（4）已知函数f（x）=lgx+

1

lgx

，则函数f（x）的最小值为2．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题

分析：（1）中，写出命题p的否定￢p，判定命题（1）是否正确；
（2）中，由x∈[0，π]时，判定函数y=sin（x-

π

2

）在[0，π]上是增函数；
（3）中，可以举例说明充分与必要条件不成立；
（4）中，讨论函数f（x）的值域是什么，从而判定命题是否正确．

解答： 解：对于（1），命题“?x＞0，x²-x≤0”的否定是“?x＞0，x²-x＞0”，
∴命题（1）正确；
对于（2），∵x∈[0，π]，∴x-

π

2

∈[-

π

2

，

π

2

]，
∴函数y=sin（x-

π

2

）在[0，π]上是增函数，
∴命题（2）错误；
对于（3），在数列{a_n}中，当a_n，a_n+1，a_n+2成等比数列时，a_n+1²=a_na_n+2，
反之，不成立，如a₁=a₂=…=a_n=0时，
∴命题（3）不正确；
对于（4），∵函数f（x）=lgx+

1

lgx

，∴x＞0且x≠1，∴当x＞1时，f（x）≥2，当1＞x＞0时，f（x）≤-2；
∴命题（4）错误．
所以，以上正确的命题有1个；
故选：A．

点评：本题通过命题真假的判定，考查了命题的否定、函数的单调性与最值问题以及充分与必要条件问题，是综合题，解题时应对每一个选项，仔细分析，选出正确的答案．