Question

如图，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，EA⊥平面ABC，FC∥EA，EA=FC=AB=a．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面BCF；
（Ⅱ）求二面角A-EB-F的某三角函数值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出AB⊥BC，AB⊥FC，由此能证明AB⊥平面BCF．
（Ⅱ）取BE的中点G，连接FG，由已知条件推导出∠AGF即为二面角A-EB-F的平面角．利用余弦定理能求出二面角A-EB-F的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵∠ABC=90°，∴AB⊥BC，
又∵EA⊥平面ABC，FC∥EA，∴AB⊥FC，
∵BC∩FC=C，
∴AB⊥平面BCF．
（Ⅱ）解：取BE的中点G，连接FG，
∵EA=BA，∴AC⊥EB，
又∵EF=FB=

2

a，∴FG⊥EB，
∴∠AGF即为二面角A-EB-F的平面角．
在△AGF中，AF=

3

a，AG=

2

2

a，FG=

6

2

a
由余弦定理有cos∠AGF=

AG2+FG2-AF2

2AG•FG

=

1 2 a2+ 3 2 a2-3a2

2• 2 2 a• 6 2 a

=-

3

3

∴二面角A-EB-F的余弦值是-

3

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的某三角函数值的求法，解题时要认真审题，合理地化空间问题为平面问题，注意余弦定理的合理运用．