Question

如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-

1

20

（1+k²）x²（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求证炮发射的高度不会超过5千米；
（2）求炮的最大射程．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数的最值及其几何意义

专题：应用题

分析：（1）由函数解析式的系数代入顶点坐标公式求出高度，（2）解一元二次方程即可．

解答： 证明（1）∵y=kx-

1

20

（1+k²）x²（k＞0），
∴二次项系数小于0，函数有最大值，
高度h=y_max=

-k2

4•(- 1 20 )(1+k2)

=5-

5

1+k2

＜5；
∴炮发射的高度不会超过5千米；
（2）解：令y=0，得0=kx-

1

20

（1+k²）x²（k＞0），
解得：x=0，x=

20k

1+k2

，
∴炮的最大射程为：

20k

1+k2

．

点评：本题主要是求函数的最值问题以及图象和x轴的交点坐标，是一道基础题．