【题目】已知函数,若对于区间上的任意,都有,则实数的最小值是( )
A. 20B. 18
C. 3D. 0
【答案】A
【解析】
对于区间[﹣3,2]上的任意x1,x2都有|f(x1)﹣f(x2)|≤t,等价于对于区间[﹣3,2]上
的任意x,都有f(x)max﹣f(x)min≤t,利用导数确定函数的单调性,求最值,即可得出
结论.
对于区间[﹣3,2]上的任意x1,x2都有|f(x1)﹣f(x2)|≤t,
等价于对于区间[﹣3,2]上的任意x,都有f(x)max﹣f(x)min≤t,
∵f(x)=x3﹣3x﹣1,∴f′(x)=3x2﹣3=3(x﹣1)(x+1),
∵x∈[﹣3,2],
∴函数在[﹣3,﹣1]、[1,2]上单调递增,在[﹣1,1]上单调递减,
∴f(x)max=f(2)=f(﹣1)=1,f(x)min=f(﹣3)=﹣19,
∴f(x)max﹣f(x)min=20,
∴t≥20,
∴实数t的最小值是20,
故答案为:A
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【题目】某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关,随机抽取了55名市民,得到数据如下表:
喜欢 | 不喜欢 | 合计 | |
大于40岁 | 20 | 5 | 25 |
20岁至40岁 | 10 | 20 | 30 |
合计 | 30 | 25 | 55 |
(1)判断是否有的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关?
(2)已知20岁到40岁喜欢“人文景观”景点的市民中,有3位还比较喜欢“自然景观”景点,现在从20岁到40岁的10位市民中,选出3名,记选出喜欢“自然景观”景点的人数为,求的分布列、数学期望.
(参考公式:,其中)
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】在四棱锥中,底面是平行四边形,,侧面底面,,, 分别为的中点,点在线段上.
(Ⅰ)求证:直线平面;
(Ⅱ)若为的中点,求平面与平面所成锐二面角的余弦值;
(Ⅲ)设,当为何值时,直线与平面所成角的正弦值为,求的值.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线的普通方程为,曲线参数方程为(为参数);以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线的极坐标方程为,.
(1)求的参数方程和的直角坐标方程;
(2)已知是上参数对应的点,为上的点,求中点到直线的距离取得最小值时,点的直角坐标.
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【题目】2018年10月28日,重庆公交车坠江事件震惊全国,也引发了广大群众的思考——如何做一个文明的乘客.全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范.社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查,并将得到的分数整理成如图所示的统计图.
(1)求得分在上的频率;
(2)求社区居民问卷调查的平均得分的估计值;(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
(3)由于部分居民认为此项学习不具有必要性,社区委员会对社区居民的学习态度作调查,所得结果统计如下:(表中数据单位:人)
认为此项学习十分必要 | 认为此项学习不必要 | |
50岁以上 | 400 | 600 |
50岁及50岁以下 | 800 | 200 |
根据上述数据,计算是否有的把握认为居民的学习态度与年龄相关.
附:,其中.
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为且椭圆上存在一点,满足.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知分别是椭圆的左、右顶点,过的直线交椭圆于两点,记直线的交点为,是否存在一条定直线,使点恒在直线上?
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【题目】如图,在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,P为A1D1的中点,Q为A1B1上任意一点,E、F为CD上任意两点,且EF的长为定值,则下面的四个值中不为定值的是( )
A.点P到平面QEF的距离
B.直线PQ与平面PEF所成的角
C.三棱锥P﹣QEF的体积
D.二面角P﹣EF﹣Q的大小
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【题目】如图①,在中,,的中点为,点在的延长线上,且.固定边,在平面内移动顶点,使得圆分别与边,的延长线相切,并始终与的延长线相切于点,记顶点的轨迹为曲线.以所在直线为轴,为坐标原点建立平面直角坐标系,如图②所示.
(1)求曲线的方程;
(2)过点的直线与曲线交于不同的两点,,直线,分别交曲线于点,,设,,求的取值范围.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,侧面底面ABCD,且,设E,F分别为PC,BD的中点.
(1)求证:平面PAD;
(2)求直线EF与平面PBD所成角的正弦值.
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