Question

5．已知复数z=$\frac{（1-i）^{2}+3（1+i）}{2-i}$
（1）若复数z₁与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称，求z₁
（2）若复数z₂=a+bi（a，b∈R）满足z²+az+b=1-i，求z₂的共轭复数．

Answer 1

分析 首先进行复数的化简，然后根据要求解答．

解答 解：由已知复数z=$\frac{（1-i）^{2}+3（1+i）}{2-i}$=$\frac{-2i+3+3i}{2-i}$=$\frac{3+i}{2-i}$=$\frac{（3+i）（2+i）}{（2-i）（2+i）}$=$\frac{5+5i}{5}$=1+i；
所以（1）若复数z₁与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称，则它们实部互为相反数，虚部相等，所以z₁=-1+i；
（2）若复数z₂=a+bi（a，b∈R）满足z²+ax+b=1-i，
所以（1+i）²+a（1+i）+b=1-i，
整理得a+b+（2+a）i=1-i，
所以a+b=1并且2+a=-1，
解得a=-3，b=4，
所以复数z₂=-3+4i，所以z₂的共轭复数-3-4i．

点评 本题考查了复数的混合运算以及复数的几何意义、共轭复数；关键是正确化简复数z．