Question

14．设t∈R，已知p：函数f（x）=x²-tx-t有两个零点，q：?x∈R，2-t²≤|x|．
（Ⅰ）若p为真命题，求t的取值范围；
（Ⅱ）若p∧￢q为真命题，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，若p为真命题，则函数f（x）=x²-tx-t与x轴有2个交点，由二次函数的性质分析可得答案；
（Ⅱ）根据复合命题真假关系分析可得：若p∧￢q为真命题，则P为真命题，而q为假命题，分析q为假命题时t的取值范围，进而分析可得答案．

解答 解：（Ⅰ）根据题意，若p为真命题，则函数f（x）=x²-tx-t有两个零点，
即函数f（x）=x²-tx-t与x轴有2个交点，
必有（-t）²-4（-t）＞0，
即t²+4t＞0，
解可得：t＜-4或t＞0；
（Ⅱ）若p∧￢q为真命题，则P为真命题，而q为假命题，
q：?x∈R，2-t²≤|x|，分析可得：t²≥2，即t≤-$\sqrt{2}$或t≥$\sqrt{2}$，
则￢q成立时，有-$\sqrt{2}$＜t＜$\sqrt{2}$，
若p∧￢q为真命题，则必有0＜t＜$\sqrt{2}$．

点评 本题考查复合命题的真假判定，关键是求出p、q为真时t的取值范围．