Question

【题目】农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原，如图所示，平行四边形形状的纸片是由六个边长为的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为______；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为______．

Answer 1

【答案】

【解析】

在棱长为的正四面体中，取中点，连接，，作平面，由题意可得，即可求得该六面体的体积；该球体积取最大值时，球心为，且该球与相切，过球心作，则就是球的半径，求得后，利用球的体积公式即可得解.

该六面体是由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为，如图所示，

在棱长为的正四面体中，取中点，连接，，

作平面，垂足在上，则，，，

该六面体的体积；

当该六面体内有一球，且该球体积取最大值时，球心为，且该球与相切，过球心作，则就是球的半径，

，该球半径，

该球体积的最大值为．

故答案为：，.