Question

【题目】在如图所示的几何体中，平面平面，四边形为等腰梯形，四边形为菱形．已知，，．

（1）线段上是否存在一点，使得平面？证明你的结论．

（2）若线段在平面上的投影长度为，求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）且是的中点，证明见解析;（2）．

【解析】

（1）首先利用三角形的中位线推出，然后利用直线与平面平行的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量、平面的法向量，利用向量即可求解.

解：（1）在线段上存在一点，使得平面，且是的中点．

证明如下：

如图，连接交于点，连接．四边形为菱形，为的中点．

在中，由中位线定理可得.

平面，平面，平面．

在线段上存在一点，使得平面，且是的中点．

（2）解：，，线段在平面上的投影长度为，

线段在平面上的投影长度为．因为平面平面，交线为，

如图，过作于点，则平面，

则，为线段的中点．以为坐标原点，所在的直线为轴，

过平行于的直线为轴，过垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，

可得，，，，，，

．

设平面的法向量为，则，得，

取，则．设直线与平面所成的角为，

则，

直线与平面所成角的正弦值为．