Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意的n∈N^*，都有a_n＞0，且点（a₁³+a₂³+…+a_n³，S_n）（n∈N^*）在函数y=

x

的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足：2 an=

b1

2-1

+

b2

22-1

+

b3

23-1

+…+

bn

2n-1

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得S_n=

a13+a23+…+an3

，从而an+13=(a1+a2+…+an+1)2-（a₁+a₂+…+a_n）²，进而an+12-an2=an+1+an，由此能推导出数列{a_n}是首项为l，公差为l的等差数列，求出a_n=n．
（2）由2 an=2ⁿ=

b1

2-1

+

b2

22-1

+

b3

23-1

+…+

bn

2n-1

，得2^n-1=

b1

2-1

+

b2

22-1

+

b3

23-1

+…+

bn-1

2n-1-1

，由此能求出b_n=2^n-1（2ⁿ-1）．

解答： 解：（1）由已知得S_n=

a13+a23+…+an3

，
当n=1时，有a1=S1=

a13

，
由a_n＞0，解得a₁=1，
由S_n=

a13+a23+…+an3

，
得a13+a23+…+an3=（a₁+a₂+…+a_n）²，①
则有a13+a23+…+an3+an+13=（a₁+a₂+…+a_n+1）²，②
②-①，得an+13=(a1+a2+…+an+1)2-（a₁+a₂+…+a_n）²，
由于a_n＞0，所以an+12=2（a₁+a₂+…+a_n）+a_n+1，③
同样有，an2=2(a1+a2+…+an-1)+an，（n≥2），④
③-④，得an+12-an2=an+1+an，
所以a_n+1-a_n=l，
由于a₂-a₁=l，
即当n≥l时都有a_n+1-a_n=1，
所以数列{a_n}是首项为l，公差为l的等差数列，故a_n=n．
（2）∵2 an=2ⁿ=

b1

2-1

+

b2

22-1

+

b3

23-1

+…+

bn

2n-1

，①
∴2^n-1=

b1

2-1

+

b2

22-1

+

b3

23-1

+…+

bn-1

2n-1-1

，②
①-②，得：

bn

2n-1

=2^n-1，
∴b_n=2^n-1（2ⁿ-1）．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．