Question

12．已知P为椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$上任意一点，F₁，F₂是椭圆的两个焦点
（1）|PF₁|•|PF₂|的最大值；
（2）${\left|{P{F_1}}\right|^2}+{\left|{P{F_2}}\right|^2}$的最小值；
（3）求F₁PF₂的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆定义知|PF₁|+|PF₂|为定值2a，再利用均值定理求积|PF₁|•|PF₂|的最大值即可；
（2）利用配方法将|PF₁|²+|PF₂|²进行配方，结合|PF₁|+|PF₂|为定值2a，再利用均值定理求|PF₁|²+|PF₂|²的最小值即可；
（3）利用余弦定理cosF₁PF₂=$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}|•|P{F}_{2}|}$，计算即得结论．

解答 解：（1）|PF₁|•|PF₂|≤$（\frac{|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|}{2}）^{2}$=a²=4，
当且仅当|PF₁|=|PF₂|时取等号，
∴|PF₁|•|PF₂|的最大值是4；
（2）|PF₁|²+|PF₂|²=$（{|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|）}^{2}$-2|PF₁|•|PF₂|
≥4a²-2•$（\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}}{2}）^{2}$
=2a²
=8，
当且仅当|PF₁|=|PF₂|时取等号，
∴|PF₁|²+|PF₂|²的最小值是8；
（3）∵椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
∴|F₁F₂|=$2\sqrt{3}$，
∴cosF₁PF₂=$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}|•|P{F}_{2}|}$
≤$\frac{8-12}{2×4}$
=-$\frac{1}{2}$，
当且仅当|PF₁|=|PF₂|时取等号，
又∵0°＜∠F₁PF₂＜180°
∴∠F₁PF₂=120°．

点评 本题考查了椭圆的标准方程的意义，椭圆定义的应用，椭圆的几何性质，余弦定理，利用均值定理和函数求最值的方法，注意解题方法的积累，属于中档题．