Question

如图1，在平行四边形ABCD中，∠A=90°，∠B=135°，∠C=60°，AB=AD，M，N分别是边AB，CD上的点，且2AM=MD，2CN=ND，如图1，将△ABD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面BCD，并连结AC，MN（如图2）．

（1）证明：MN∥平面ABC；
（2）证明：AD⊥BC；
（3）若BC=1，求三棱锥A-BCD的体积．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）先证明出MN∥AC，继而根据线面平行的判定定理证明出MN∥平面ABC．
（2）先证明出BC⊥BD，根据线面垂直的判定定理证明出BC⊥平面ABD，最后由线面垂直的性质可推断出AD⊥BC．
（3）分别在△BCD和△ABD中求得BD和AB，则三角形ABD的面积可得，最后利用V_A-BCD=V_C-ABD求得三棱锥的体积．

解答： （1）证明：在△ACD中，
∵2AM=MD，2NC=ND，
∴MN∥AC，
∵MN?平面ABC，AC?平面ABC，
∴MN∥平面ABC．
（2）证明：在△ABD中，AB=AD，∠A=90°，
∴∠ABD=45°，
∵在平面四边形ABCD中，∠B=135°，
∴BC⊥BD，
∵平面ABD⊥平面BCD，BC?平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，
∴BC⊥平面ABD，
又AD?平面ABD，
∴AD⊥BC．
（3）解：在△BCD中，
∵BC=1，∠CBD=90°，∠BCD=60°，
∴BD=

3

，
在△ABD中，∠A=90°，AB=AD，
∴AB=

6

2

，
∴S_△ABD=

1

2

AB•AD=

3

4

，
由（2）知BC⊥平面ABD，
∴V_A-BCD=V_C-ABD=

1

3

×

3

4

×1=

1

4

．

点评：本题主要考查空间点、线、面的位置关系及三棱锥的体积．考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力．