Question

如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，且AD=DC=CB=

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AB．直角梯形ACEF中，EF

∥ .

.

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AC，∠FAC是锐角，且平面ACEF⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：BC⊥AF；
（Ⅱ）试判断直线DF与平面BCE的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取AB中点H，连结CH，先证明出四边形AHCD为平行四边形，推断出AD=HC=

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AB，证明出BC⊥AC，进而根据线面垂直的判定定理推断出BC⊥平面ACEF，最后根据线面垂直的性质推断出BC⊥AF． 
（Ⅱ）取AC的中点M，连接DM，FM，先证明出FM∥EC，根据面面平行的判定定理推断出平面BCE∥平面DMF，进而根据面面平行的性质推断出DF∥平面BCE．

解答： （Ⅰ）证明：取AB中点H，连结CH，
∵底面ABCD是梯形，且AD=DC=CB=

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AB，
∴CD=AH，CD∥AH，
∴四边形AHCD为平行四边形，
∴AD=HC=

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AB，
∴∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∵平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD=AC，
∴BC⊥平面ACEF，
而AF?平面ACEF，
故BC⊥AF． 
（Ⅱ）DF∥平面BCE，以下证明：
取AC的中点M，连接DM，FM．
∵在平面ABCD中，DM⊥AC，BC⊥AC，
∴DM∥BC．           
∵在直角梯形ACEF中，EF

∥ .

.

CM，
∴FM∥EC．                                         
∵BC，CE?平面BCE，BC∩CE=C，DM，MF?平面DMF，DM∩MF=M，
∴平面BCE∥平面DMF，DF?平面DMF，
∴DF∥平面BCE．

点评：本题主要考查了线面平行的判定定理和性质以及线面垂直的判定定理及性质的应用．考查了学生综合运用立体几何基础知识的能力．