Question

已知函数f（x）=ax²-4x+b，（a∈R，b∈R）
（1）若函数f（x）有最小值3，求f（1）+2a的最小值；
（2）若b=-4a，解关于x的不等式f（x）＞-8．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数的最小值得出a和b的关系式，代入f（1）中，利用基本不等式求得f（1）+2a的最小值．
（2）把问题转化为解不等式ax²-4x-4a+8＞0，对a进行分类讨论解不等式．

解答： 解：（1）函数f（x）有最小值3，
∴a＞0，

4ab-16

4a

=3，
∴b=

4

a

+3，f（1）=a-4+b=a+

4

a

-1，
∴f（1）+2a=3a+

4

a

-1≥2

3a• 4 a

-1=4

3

-1．
即f（1）+2a的最小值为4

3

-1．
（2）当b=-4a时，不等式f（x）＞-8，可化为ax²-4x-4a+8＞0，
①当a=0时，不等式即为-4x+8＞0，x＜2，
②当a＞0时，原不等式即为（x-2）[x-（

4

a

-2）]＞0，
当a＞1时，x＞2或x＜

4

a

-2，
当a=1时，x≠2，
当0＜a＜1时，x＞

4

a

-2或x＜2，
③当a＜0时，原不等式即为（x-2）[x-（

4

a

-2）]，即

4

a

-2＜x＜2，
∴当a＜0时不等式的解集为（

4

a

-2，2），
当a=0时，不等式的解集为（-∞，2），
当1＞a＞0时，原不等式解集为（

4

a

-2，+∞）∪（-∞，2）
当a=1时，原不等式解集为（x|x≠2，x∈R}，
当a＞1时，原不等式解集为（2，+∞）∪（-∞，

4

a

-2）

点评：本题主要考查了二次函数的性质，分类讨论的思想和函数思想．考查了学生运算能力和逻辑思维能力．