Question

如图1，游乐场中的摩天轮匀速旋转，其最低点离地面5米，如果以你从最低点登上摩天轮的时刻开始计时，那么你与地面的距离y （m） 随时间x （min）变化的关系将如图所示（该图象近似于y=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，-π≤φ≤0）的图象）．

（Ⅰ）求出y（m）和x（min）的函数关系式；
（Ⅱ）当你第四次距离地面65米时与第一次距离地面65米时相隔多少时间？

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由图结合参数的意义可得A，b，ω，代点结合范围可得φ，可得解析式；
（Ⅱ）由题意可得cos

π

12

x=-

1

2

，可得第一次距离地面65米时的时间x₁=8（min），第四次距离地面65米时的时间x₄=40（min），作差可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由图可知，A=

85-5

2

=40，b=

85+5

2

=45，
又周期T=24，∴ω=

2π

24

=

π

12

，
∴y=40sin(

π

12

x+φ)+45．
∵函数图象过点（0，5），
∴40sinφ+45=5，即sinφ=-1，
∵-π≤φ≤0，∴φ=-

π

2

．
∴y=40sin(

π

12

x-

π

2

)+45=45-40cos

π

12

x；
（Ⅱ）又y=45-40cos

π

12

x=65，可得cos

π

12

x=-

1

2

，
由图可知第一次距离地面65米时的时间x₁∈（0，12）
∴

π

12

x1=

2π

3

，x₁=8（min）．
∴由图象的对称性可知第二次距离地面65米时的时间x₂=12+（12-x₁）=12+4=16（min）
．∴第四次距离地面65米时的时间x₄=x₂+T=16+24=40（min）．
∵x₄-x₁=40-8=32（min）．
∴第四次距离地面65米时与第一次距离地面65米时相隔32min．

点评：本题考查是三角函数的图象和性质，涉及实际应用，属中档题．