Question

某厂以x千克/小时的速度匀速生产一种产品（生产条件要求1≤x≤5），每小时可获得的利润是100（8x+1-

2

x

）元．
（1）要使生产该产品每小时获得的利润不低于1600元，求x的取值范围；
（2）要使生产1000千克该产品获得的利润最大，问该厂应怎样选取生产速度？并求此最大利润．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）求出生产该产品1小时获得的利润，建立不等式，然后解一元二次不等式即可求x的取值范围；
（2）确定生产1000千克该产品获得的利润函数，利用配方法，从而可求出最大利润．

解答： 解：（1）根据题意，100（8x+1-

2

x

）≥1600，即8x²-15x-2≥0
∴x≥2或x≤-

1

8

，
∵1≤x≤5，∴2≤x≤5，
即x的取值范围是2≤x≤5；
（2）设生产1000千克该产品获得的利润为y元，则
y=100（8x+1-

2

x

）×

1000

x

=10000[-3（

1

x

-

1

4

）²+

65

8

]，
∵1≤x≤5，
∴x=4时，取得最大利润为812500元，
故该厂应以4千克/小时的速度生产，可获得最大利润为812500元．

点评：本题考查函数模型的建立，考查解不等式，考查函数的最值，确定函数的模型是关键．属于中档题．