Question

已知向量

a

，

b

，

c

满足

c

=

a

+

b

．
（Ⅰ）若

a

=（3，1），

b

=（1，y），

a

∥

c

，求实数y的值；
（Ⅱ）若|

b

|=2|

a

|≠0，

a

⊥

c

，求向量

a

，

b

的夹角θ．

Answer 1

考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角,平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（Ⅰ）由

a

、

b

，求出

c

，再由

a

∥

c

，求出y的值；
（Ⅱ）由

a

⊥

c

，得

a

•

c

=0，由|

b

|=2|

a

|≠0，求出cosθ的值，从而得出夹角θ的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵

c

=

a

+

b

，

a

=（3，1），

b

=（1，y），
∴

c

=（4，1+y）；（2分）
又∵

a

∥

c

，
∴3（1+y）-4×1=0，（4分）
解得y=

1

3

；（6分）
（Ⅱ）∵

c

=

a

+

b

，且

a

⊥

c

，
∴

a

•

c

=

a

•（

a

+

b

）=

a

2+

a

•

b

=0，
即

a

•

b

=-

a

2；（9分）
又∵|

b

|=2|

a

|≠0，
∴cosθ=

a • b

| a |×| b |

=

-| a |2

2| a |2

=-

1

2

；（11分）
∵θ∈[0，π]，
∴θ=

2π

3

．（13分）

点评：本题考查了平面向量的应用问题，解题时应用向量的数量积判定垂直与平行以及求夹角问题，是基础题．