Question

设命题p：实数x满足（x-1）（x-a）≤0，（a＞1）；命题q：实数x满足2^x-1≤4；
（Ⅰ）若a=2，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）若p是q成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断,复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：（Ⅰ）由（x-1）（x-a）≤0可得1≤x≤a，把a=2代入可得1≤x≤2，由2^x-1≤4可得x≤3，取交集即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知A={x|1≤x≤a}，B={x|x≤3}，由A是B的真子集结合数轴可得．

解答： 解：（Ⅰ）由（x-1）（x-a）≤0，（a＞1）得1≤x≤a，
当a=2时，1≤x≤2，即p为真时实数x的取值范围是1≤x≤2，
由2^x-1≤4，得x≤3，即q为真时实数x的取值范围是x≤3．
若p∧q为真，则p真且q真，
∴实数x的取值范围是1≤x≤2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A={x|1≤x≤a}，B={x|x≤3}，
∵p是q的充分不必要条件，
∴A是B的真子集，
∴实数a的取值范围是a≤3

点评：本题考查不等式的解法，集合的有关概念及运算等基本知识，属基础题．