Question

如图，曲线Γ：x²+y²=1（x≥0，y≥0）与x轴交于点A，点P在曲线Γ上，∠AOP=α．
（Ⅰ）若点P的坐标是（

3

5

，

4

5

），求cos²

α

2

-sin²

α

2

+2sin

α

2

cos

α

2

的值；
（Ⅱ）求函数f（α）=sinα+

3

cosα的值域．

Answer 1

考点：超几何分布的应用,任意角的三角函数的定义

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）依题意可知，cosα=

3

5

，sinα=

4

5

，再将函数化简，代入即可求解；
（Ⅱ）函数f（α）=sinα+

3

cosα=2sin(α+

π

3

)，结合α的范围，即可求出函数的值域．

解答： 解：（Ⅰ）依题意可知，cosα=

3

5

，sinα=

4

5

，（2分）
∴cos2

α

2

-sin2

α

2

+2sin

α

2

cos

α

2

=cosα+sinα（5分）
=

3

5

+

4

5

=

7

5

．（6分）
（Ⅱ）f(α)=sinα+

3

cosα=2(sinαcos

π

3

+cosαsin

π

3

)=2sin(α+

π

3

)（8分）
依题意可知，0≤α≤

π

2

．（10分）
∴

π

3

≤α+

π

3

≤

5π

6

，∴

1

2

≤sin(α+

π

3

)≤1，（12分）
∴1≤2sin(α+

π

3

)≤2，
∴函数f（α）的值域为[1，2]．（13分）

点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，考查三角函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．