Question

如图，已知A，B，C，D，E均在⊙O上，且AC为⊙O的直径．
（1）求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的值；
（2）若⊙O的半径为

3

2

，AD与EC交于点M，且E、D为弧AC的三等分点，求MD的长．

Answer 1

考点：弦切角,与圆有关的比例线段

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）连接OA，OB，OC，OD，OE，圆心角和圆周角的关系求解．
（Ⅱ）连接OM和CD，∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，由已知条件推导出OA=

3

2

，AM=

OA

cosA

=

OA

cos30°

=1．由此能求出MD的长．

解答： 解：（Ⅰ）连接OA，OB，OC，OD，OE，
则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E
=

1

2

（∠COD+∠DOE+∠EOA+∠AOB+∠BOC）
=

1

2

×360°=180°．（5分）
（Ⅱ）连接OM和CD，∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，又E、D为AC的三等分点，
∴∠A=∠C=

1

2

∠EOA=

1

2

×

1

3

×180°=30°．（7分）
∴OM⊥AC．∵⊙O的半径为

3

2

，即OA=

3

2

，
∴AM=

OA

cosA

=

OA

cos30°

=1．
在Rt△ADC中，AD=AC•cosA=2×

3

2

×

3

2

=

3

2

．
则MD=AD-AM=

1

2

．（10分）

点评：本题考查五个角的和的求法，考查线段长的求法，解题时要认真审题，注意圆心角和圆周角的关系的合理运用．