Question

已知函数f（x）=ax²-4x+c（a，c∈R），满足f（2）=9，f（c）＜a，且函数f（x）的值域为[0，+∞）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设函数g（x）=

f(x)+kx-3

x

（k∈R），对任意x∈[1，2]，存在x₀∈[-1，1]，使得g（x）＜f（x₀）求k的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据f（2）=9，可得4a+c=17．由判别式△=0，可得ac=4．又f（c）＜a，可得c＜a，解得a和c的值，可得 f（x）的解析式．
（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，f（x）∈[0，9]，由题意可得g（x）=

4x2-4x+1+kx-3

x

＜9，即4x²+（k-13）x-2＜0对任意x∈[1，2]恒成立．设h（x）=4x²+（k-13）x-2，则

h(1)＜0 h(2)＜0

，由此求得k的范围．

解答： 解：（Ⅰ）根据f（2）=9，可得4a+c=17．
由函数f（x）的值域为[0，+∞）知，方程ax²-4x+c=0，判别式△=0，即 ac=4．
又f（c）＜a，∴ac²-4c+c＜a，即c＜a，
解得：a=4，c=1，∴f（x）=4x²-4x+1． 
（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，f（x）∈[0，9]，
对任意x∈[1，2]，存在x₀∈[-1，1]，使得g（x）＜f（x₀），
即g（x）=

4x2-4x+1+kx-3

x

＜9，即4x²+（k-13）x-2＜0对任意x∈[1，2]恒成立．
设h（x）=4x²+（k-13）x-2，则

h(1)＜0 h(2)＜0

，即

k＜11 k＜6

，解得k＜6．
∴k的取值范围是（-∞，6）

点评：本题主要考查二次函数的性质、函数的恒成立问题，属于基础题．